자연언어를 수식(數式)으로 하기 위하여--- 괄호의 역할.

수학에 있어서 괄호의 기능은 여러 가지 있다.

괄호 사이에 있는 항의 계산을 우선하는 범위를 정하기, 집합의 요소를 기술하기 또 함수에서 독립변수의 표시 등 다종다양이다.

 

그런데 그 이외 중요한 기능이 있다.

하나는 괄호와 그 사이에 있는 표현을 생략할 수 있는 기능이다.

문장을 순서대로 읽으면 괄호 안에 있는 표현이 문법적으로 틀림을 일키는 겨우도 허용된다.

예 들면

금숙(장미경의 동생입니다)이 왔어요.

란 경우 순서대로 읽으면 "장미경의 동생입니다" 직후에 조사 "이"가 와서 문법적인 오류이다.

그러나 "(장미경의 동생입니다)"를 생략해서 읽을 수 있어서

금숙이 왔어요.

라고 읽으면 문법적으로 올바르다.

 

또 하나는 괄호와 그 사이에 있는 표현을 기호로 바꿔 놓을 수 있는 기능이다.

 

이에 인하여 자연언어로 기술된 수학적인 문장을 수식으로 바꿔 놓을 수 있다.

 

수학기호는 보통 중위표기법이란 순서로 쓰인다.

중위표기법이란 연산자를 작용소 사이에 두는 표기법이다.

연산자란 + , - , = , < , > , ... 등 대상을 조작이나 비교하기 등을 기술하는 기호이다.

작용소란 연산자가 영향을 미치는 대상이다.

중위표기법은 예컨대 a=b 와 같이 a 와 b 를 마치 천칭에 다는 형태이다.

 

후위표기법이란 연산자를 작용소들 뒤에 두는 표기법이다.

자연언어인 한국어로 수학적으로 표현하는 경우 예컨대

a 는 b 와 같다.

란 문장에서는 "같다."가 연산자 = 의 역활을 한다.

 

전위표기법이란 연산자를 작용소들 앞에 두는 표기법이다.

영어로

add a to b

란 표현에서 "add"가 연산자 + 의 역활을 한다.

 

a, a', a'', b, b', b'', p, p', p'' 그리고 A, A', A'', B, B', B'', P, P', P''를 다음과 같이 정의한다.

a, b: 중위표기법으로 쓴 작용소를 나타내는 기호열.

a', b': 후위표기법으로 쓴 작용소를 나타내는 기호열.

a'', b'': 전위표기법으로 쓴 작용소를 나타내는 기호열.

p: 중위표기법으로 쓴 연산자를 나타내는 기호열.

p': 후위표기법으로 쓴 연산자를 나타내는 기호열.

p'': 전위표기법으로 쓴 연산자를 나타내는 기호열.

A, B: 중위표기법으로 쓴 작용소를 나타내는 기호.

A', B': 후위표기법으로 쓴 작용소를 나타내는 기호.

A'', B'': 전위표기법으로 쓴 작용소를 나타내는 기호.

P: 중위표기법으로 쓴 연산자를 나타내는 기호.

P': 후위표기법으로 쓴 연산자를 나타내는 기호.

P'': 전위표기법으로 쓴 연산자를 나타내는 기호.

 

중위표기법, 후위표기법, 전위표기법으로 올바르게 표시하면

apb, a'b'p', p''a''b''

로 된다.

​

a'p'b', ...

등은 문법적으로 틀림이다.

 

여기서 작용소와 연산자를 각각 괄호로 끼우면

(a')(p')(b'), ...

로 된다.

"(a')", "(p')", "(b')"를 각각 "A", "P", "B"로 바꿔 놓을 수 있어서

APB

로 할 수 있다.

 

예 들면

민호의 키와 철수의 키는 같다.

라는 한국어 예문에 대해 생각해 보자.

 

"같다"는 연산자라고 간주하고 "민호의 키"와 "철수의 키"는 각각 수를 나타내는 작용소라고 간주해서

후위표기법으로 쓰인 표현이라고 생각된다. 이것은 후위표기법에 상당한다.

 

이 예문을 중위표기법으로 하도록 각 부분의 순서를 바꿔 놓으면

민호의 키와 같다. 철수의 키는

로 된다. 한국어 문법에서 보면 틀린 문장이다.

그런데 이 때 각 부분을 괄호로 끼워 보면

(민호의 키와 )(같다.)(철수의 키는 )

로 된다.

이렇게 표기하면 "(민호의 키와 )", "(같다.)" 그리고 "(철수의 키는 )"를 마치 각각 한 덩어리 같이 간주할 수 있다.

 

(민호의 키와 ) , (철수의 키는 ) , (같다.) 를 각각 수학기호 m , c , = 로 바꾸면

m=c

로 된다.